函数的本质是什么
hui30.com函数的本质是什么？
为了解释函数的本质是什么？有必要知道函数的发展史，通过了解函数的发展历程，我们可以从表面本质彻底的认识函数！
第一个历程，几何观念下的函数
1.伽利略是最早透露出函数概念的，只不过当时用的不是函数这个名词，他指出：用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。
2.随后解析几何出现，直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到：“两个变量之间的关系也一个变量，总是依靠另一个变量而存在”。很遗憾的是，当时大部分函数都被当做曲线来研究，并没有意识到需要提炼出函数这一概念！
3.时间到了1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量，这个时候“function”的词义应该不被翻译成函数，应该翻译成“功能”（个人观点），但是无论如何，1673年是数学历史上第一次见到“function”一词，是历史性的突破！直到现在，依然都是使用它！
第二个历程，代数观念下的函数
1.1718年，伯努力在莱布尼茨的基础上，对函数再次进行了定义：“强调函数需要用公式来表示”，到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。
2.1756年，伟大数学家欧拉给出定义，一个变量的函数是由这个变量和一些数（即常数），以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来，比伯努利的定义更普遍，更具有广泛意义。
第三个历程，对应关系下的函数
不要着急，很接近本质了！
1.1821年，柯西指出一个函数需要有两个变量，一个是自变量，一个是因变量。此时此刻，函数模型非常类似我们初中学的函数概念！
对于柯西这个大佬不用过多介绍，高中生只是知道一个“柯西不等式”，高考还不一定用的上，但是到了大学，柯西才正式登上舞台，会被虐的体无完肤！你有类似的经历么？反正我当年对他是又爱又恨！
2.1837年，狄利克雷（Dirichlet）指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数，自此诞生了函数的经典定义。
3.康托尔建立了集合论，美国数学家维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的概念，同时，打破了变量是数的局限性，变量可以是数，也可以是其他对象。
第四个历程，集合论下的函数
1930年，新的代现代函数定义为：
若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变量，y称为因变量。
现代函数的本质，重点强调“映射”“法则”“对应”“变换”。哪个词都可以，有了这个概念，不仅可以做简单的函数对应，也可以做复合函数的对应。
简单函数：x对应y
复合函数：x对应y，y对应z，如下图，就构成了复合函数！
中文的“函数”
函数这个词本身是舶来品，“function”这个词在英文中就是功能的意思，那么是谁把它翻译成函数的呢？
答案是清代的数学家李善兰。是他首次将“function”译为“函数”
看完了函数的发展历程，可以看出函数的发展是不断得到严谨化，精确化的过程，逐渐地通过表面现象抽离出函数的本质，这与我们学习函数的过程是一样的！从初中那种单纯的自变量，因变量的关系，到高中在对应法则下，用映射定义出的函数！在到大学多元，多对应的复变函数等等！
以上是我的回答，欢迎大家讨论，发表自己观点。
先给答案：函数的本质，是揭示事物的对立统一规律。没有哪个规律可以跳出对立统一法则，也没有哪个规律不可以函数表述。
数学是物理的武器；函数是数学的灵魂。有了函数，就有了科学与技术的辉煌成就。函数表达力是科研人的生命力，函数表达式是科学与技术的第一标签。以下分享函数的解读。
函数，有两个语境，其一泛指函数思维(方法论)，其二特指应[因]变量(dependent)。
函数的英文function，本意是“功能”。似乎看不出功能与函数有什么联系。这里的逻辑链是酱紫的：
功能→效能→效应→对应→呼应→反映→映射→函数，即自变量与因变量的一一对应关系，这是函数方法的基本含义，即函数的外延。
在反映变量之间的对应关系时，有一个极为重要的核心概念——系数(或当量)。
什么叫系数？系数的英文是coefficience。字面意思是“协同效应值”或“协变常数”。
系数反映变量之间关系所适用的特定条件或其它相对稳定的参量。换言之，变量之间的关系，取决于特定条件。
例1. 波速=波长×波频，即：c=λf，或λ=c/f，函数意思是：波长与波频成反比。
系数c叫速度常数，取决于不同的介质。在真空介质中，有光速：c=299794285米/秒。在空气介质中，有音速：c=(341+0.6T)米/秒。
例2. 质子的惯性势能与真空场(引力波)频率成正比，即：Ep(=mc²)=hf。
这有点泛函(函数套函数)味道：惯性势能与粒子质量成正比，与粒子质量场的频率成正比。
这里有两个系数：c²与h。c²强调粒子必须以光速自旋，普朗克常数h强调唯有亚原子才适合这个公式。
函数的标记是f()，有时干脆简化为f。也可用其它字母表示，如：波函数ψ(x,t)或ψ。
f(x)叫一元或一维函数，f(x,y)叫二元或二维函数，f(r,θ)=re^iθ叫复变函数。f(g())叫复合函数或泛函=函数的函数(functional(function))。M(z)叫莫比乌斯函数。f(x)=limsinx/x叫极限函数，f(sinx,cosx)叫傅里叶函数，f(dx)叫微分函数，f(a,b)=ʃf(x)dx，叫定积分函数。
对现象或效应的变量关系，用物理逻辑解释清楚，设定变量符号与量纲，指出引用函数的出处，通过严密的数学推导，最终给出函数关系式，这是科研人起码的基本功。
函数关系表达式，简称函数式，也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是对等方式。理解函数式的物理意义有时是很难的。
例3. 薛定谔方程或函数：i(h/2π)dψ/dt=Hψ，意义：①i=-1½单位1虚数化即逆时针旋转½π，②h/2π是半径化普朗克常数，③量子波函数ψ(x,y,z,t)，④H=H(ijk)=ix'+jy'+kz'是三维基矢(i,j,k)的1阶偏导数的矢量和。
函数是一种关系。关系是复杂的。历时性关系，叫纵向关系。共时性关系，叫横向关系。
函数关系的异名同义说法有：逻辑关系、因果关系、对应关系、量化关系、定量关系、当量关系、量纲关系、映射关系、投影关系、迭代关系(递推)、拓扑关系、辩证关系或对立统一关系或超对称关系(supersymmetry)。
迭代函数(iteration)是尤其用于在分形学和动力学中深入研究的软件系统工具，是重复的与自身复合的周期函数，本质上依然是对立统一法则。
例4. 全面质量管理理论的PDCA循环单元，是一个从设计(plan)到行动(do)到控制(control)到实现(action)的抽象过程。设计与实现是对立统一的节点(P*A)：PDCA→PDCA→PDCA......
例5. Fibonacci Sequence斐波那契数列是数0、1、1、2、3、5、8、13...可做迭代函数化的操作，定义为： f(0)=0，f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2,n∈N)。
拓扑关系是基于连通性的抽象性的投影关系，是把“万变不离其宗”解读为函数关系，尤其是把高维关系投影为低维关系，高维与低维也可以理解为一种对立统一关系。
▲就拓扑关系而言，魔鬼与神仙与各色人等，没什么两样。SO EVERYBODY IS AN ACTOR ON THE WORLD.
例6.我们看到的太阳，总是三维的太阳发射的光在肉眼中的二维投影，感觉的“圆盘”与真实的“圆球”是一种超对称的投影关系。
例7. 把三维的电子云分布，拓扑(投影)为二维的电子云分布，进而大大简化复杂性。
超对称关系，当然包括迭代关系与拓扑关系，也是把“对立统一规律”解读为函数关系。
对立统一规律泛指：互为因果、相辅相成、相互制衡。超对称思维是物理逻辑的最高境界。
例8. 万有引力F(m,R)=Gm₁m₂/R²中，分子(m₁m₂)与分母(R²)是质量乘积效应与真空场的超对称。G是超对称系数。
例9. 在库仑定律F(q,R)=kq₁q₂/R中，分子(q₁q₂)与分母(R²)是电荷效应与真空场效应之间的超对称。k是超对称系数。
